Henrys Übergangsbögen

[Henry]

Übergangsbögen

Hallo zusammen,

Übergangsbögen sind im MBS "Splines", die eigentlich den kontinuierlichen und ruckelfreien Übergang von der Geraden in den Kreisbogen und natürlich wieder zurück herstellen sollen. Damit das funktioniert, muß sich an jedem Punkt des Übergangsbogens die Krümmung ändern - also auch der Radius.

• Krümmung eines Bogens K = 1 / Radius

Wir möchten also mit länger werdendem Bogen, daß die Krümmung zu- und der Radius abnimmt. Stelle Dir vor, daß Du auf der Landstraße von der Geraden in eine Kurve fährst --- so lange Du das Lenkrad sanft einschlagend nachführen mußt, befährst Du einen einleitenden Übergangsbogen --- wenn Du in der Kurve dein Lenkrad festhalten mußt, fährst Du in einem Kreisbogen. Wenn Du wieder lenken mußt, bist Du so lange auf einem ausleitenden Übergangsbogen, bis Du in der Geraden nicht weiter (bis zum nächsten Übergangsbogen) lenken mußt.

Dieses geometrische Gebilde heißt Klotoide. 

Je schneller Du in eine Kuve fährst, desto gößer werden die Fliehkräfte. Damit man die Richtung halten kann, gibt es Geschwindigkeitsbegrenzungen. Diese müssen wir im MBS nicht bei der Bemessung von Übergangsbögen berücksichtigen, weil in der Simulation kein Zug aus der Kurve fliegen kann. Wer "Real bauen" will, nehme größere Längen.

Übergangsbögen sind geometrisch nicht einfach zu vermitteln. Dennoch möchte ich darstellen, wie man dieses bewerkstelligen kann, wenn man einige Vereinfachungen einfließen läßt.

Dazu stellen wir folgende Bedingungen auf:

• Wir suchen uns eine Standard-Klotoide, (A=L=R) Beschreibung folgt)
• Öffnungswinkel der Klothoide Tau = max 30° (ein häufiger Winkelwert für Gleise in Hersteller-Systemen)
• Ein End-Radius muß vorgegeben werden können
• Ein Gleisabstand muß eingehalten werden können,
• Das Rastermaß des Gleissystems muß beibehalten werden,
• Die Länge einer Klothoide wird in 8 gleichlange Teile zelegt und als 8-teiliger Spline als Kreisbogen - definiert durch Radius und Mittelpunktswinkel - abgebildet. Von der genauen Klothoide werden nur noch die Stützpunkte verwendet.

8 Teile genügen, um einen sauberen Übergangsbogen zu erstellen.

so long von

Henry

Bearbeitet 11. Februar 2019 von Henry
Text + Formel

[Henry]

Vereinfachte Klothoide als Übergangsbogen

Allgemeine Hinweise

Ich hatte zum Testen das mir sehr bekannte Märklin C-Gleis benutzt, welches aber keine Flexgleise wegen des festen Gleiskörpers im Angebot hat. Deshalb war es mir wichtig zu prüfen, ob die Verwendung von Flexgleisen die Voraussetzung dafür ist, daß sich der geplante Entwurf auch real auf der Platte verlegen läßt. Wichtig war zu erkennen, ob andere Gleise bei der Verwendung von Übergangsbögen betroffen sind. Wer Übergangsbögen in seiner realen Anlage nutzen will, arbeitet sicher mit Flexgleisen.

Dennoch, zur grundlegenden Beschreibung der Vorgehensweise bleibe ich maßlich beim Märklin-C-Gleis, weil abweichende Maße leicht geändert werden können.
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Im einfachen Fall ist die Klothoide eine Kurve, die den Übergang von der Geraden (R = unendlich) in einen Kreisbogen mit einem bestimmten Radius (R=360) herstellt. Das heißt, je länger der Bogen, desto größer ist die Krümmung oder umso kleiner wird der Radius. (Krümmung = 1/R)

Dafür gibt es eine einfache Formel: A² = R * L. Und weil man sich das schwer vorstellen kann, wählen wir eine einfache Klothoide mit der Form

• R = 1 ; L = 1 dann ist A² = 1 * 1 = 1 und A = 1
• bei R = 360 ist L = 360 und A = 360 !
• Diese Klothoide (A=R=L) wird nun im Folgenden verwendet. Dabei wird die bekannte Länge (360) in 8 (mögliche Spline-) Anteile zerlegt. Je nach Länge wird der überstrichene Winkel (Tau= 28,6479°) und der an dieser Länge aktuelle Radius berechnet. Der letzte Winkel wird auf 30° berechnet.
• Vorweggenommen habe ich die Klothoiden für folgende Radien:
  R= 360; R= 437,5; R= 515; R= 579,6; R= 643,6

Wie man sieht, gibt es oben eine Verschiebung im Gleisabstand. Das ist auch in Ordnung. Damit ist aber auch klargestellt, daß es dort keine passenden Gleisverbindungen mehr geben kann, wenn nicht mit Flexgleisen Abhilfe geschaffen werden kann. Auch eine Gleisverbindung mit Bogenweichen ist momentan nur mit Flexgleis möglich.

Für die Klothoide R= 360 hier die Maße:

Als Spline muß man nur die blau hinterlegten Werte von Radius und der Winkeldifferenz (delta tau) eingeben. Beachte, daß der letzte Winkelwert  als Ergänzung zu 30° einzugeben ist.

Wichtig: der Winkel (delta tau) ist für alle Klothoiden mit den Parametern (R = 1 ; L = 1; A =1) immer gleich groß !!!!

Klöthoiden sind ähnlich. Es gibt aber keine KLothoide, die zu sich parallel ist.

So long meint Henry

mit Henrys Übergangsbögen 1.mbp

 

Bearbeitet 11. Februar 2019 von Henry

[Henry]

Hallo, hier ist der Platzhalter

der gefüllt werden muß - bin leider 3 mal gescheitert, mein Geschreibsel ging irgendwie verloren

hier zwei unkommentierte Bilder, Text folgt.

HG, Henry

Bearbeitet 13. Februar 2019 von Henry
Bild

[Henry]

Flexgleise und Übergangsbogen als Splines

wer gedanklich folgen mag, ist eingeladen, Schritt für Schritt zu folgen;

Im Allgemeinen werden Splines als Kurvenfolge verstanden, die am Anfang und Ende des gesamten Kurventeiles eine definierte Bedingung erfüllt. Zum Verständnis gibt es nochmal folgendes zu sagen:

Zitat

Ein Spline n-ten Grades ist eine Funktion, die stückweise aus Polynomen höchstens n-ten Grades zusammengesetzt ist. Dabei werden an den Stellen, an denen zwei Polynomstücke zusammenstoßen, bestimmte Bedingungen gestellt, etwa dass der Spline-mal stetig differenzierbar ist. ...

• Bei Flexgleisen oder 3D-Modellen ist die Bedingung, daß - über den gesamten Kurvenverlauf gesehen - erreicht wird, wenn am Anfang und Ende der Kurve eine tangentiale Anpassung mit dem Radius R = UNENDLICH beziehungsweise ohne Krümmung erfolgt. Die Anpassung wird durch Markieren und Ziehen mit der Maus hergestellt. Dadurch hat man aber keinen Einfluß auf die Gestalt der Kurve. Der visuelle Verlauf ist nicht vorhersehbar.
• Zum Ausgleich von Lagedifferenzen in der Gleisplanung mag die MBS-Funktion "Flexibles Biegen" hifreich erscheinen. Bei Gleisen mit festem Gleiskörper oder beim Fehlen von Flexgleisen ist die Anwendung möglich - aber nicht zielführend. Hier sollte man sein Gleissystem fragend bemühen, wie eine Anpassung erfolgen kann.
• Besser wäre ein Spline, welches die sanfte Überleitung von der Geraden in einen Kreisbogen mit einem genauen Radius als Übergangsbogen ermöglicht. Dazu verwenden wir eine Klothoide und ersetzen diese mit einem 8-teiligen Korbbogen.

Bevor dieses möglich wird, müssen wir aber einen Blick auf den vorher angesprochenen Parameter A werfen. A² ist einfach gesagt das rechnerische Ergebnis von R * L.

• A²= R* L (konstant)
• L = A² / R (konstant)
• R = A² / L (konstant)
• A ist also ein Vergrößerungsfaktor einer wie auch immer gearteten Klothoide

Es gibt unendlich viele Übergangsbögen. Diese sollten Im Modellbahnbereich so beschaffen sein, daß sie einen Anschlußwinkel von 30° nicht überschreiten. Das ist gegeben, wenn die Klothoide die Parameter A=R=L=1 haben. Dieses Verhältnis bleibt auch bestehen, wenn wir den Radius von 1 auf 360 mm vergrößern. Dann ist A=R=L=360. Mochten wir längere Übergangsbögen, erhöhen wir A oder R  oder L

Wenn wir einen Übergangsbogen in unser Gleissystem einbauen möchten, ist das virtuell jederzeit möglich; im Realen Bau benötigt man jedoch Flexgleise.

Zur Berechnung wählen wir eine originale Klothoide der Form A=R=L=360 und teilen diese in 8-Splineanteile auf:

8 Bogenteile verteilt auf den Übergangsbogen

Länge/Form des Übergangsbogens passt

wählen wir also im Folgenden eine Ausgangs-Klothoide mit einem Endradius aus

meint Henry

[Henry]

Auf die Länge kommt es an

Im Beitrag Vereinfachte Klothoide als Übergangsbogen haben wir für jeden Übergangsbogen eine passende Klothoide mit dem Endradius des anschließenden Kreisbogen mit den Ausgangswerten A = R = L berechnet. Da bei zeigte sich, daß der überstrichene Winkel in allen Kreisbogen gleich großist, aber die Mittelpunkte der Parrallelgleise nicht die gleiche Lage haben. Außerdem passen die Gleisabstände nicht mehr.

Wer im Beitrag Platzhalter genau hinschaut, kann sehen, daß die Übergangsstellen von der Klotoide zum Kreisbogen auf einer Linie zum Mittelpunkt aller Gleiskreise liegen. Damit werden auch die Gleisabstände gehalten. Es können also Weichenverbindungen zwischen den verschiedenen Geraden und Kreisbögen im Gleissystem geformt werden.

Es stellt sich folgende Frage :

Welches Maß soll ich für einen Übergangsbogen aussuchen ?

Man kann sich seine Ausgangs-Klothoide wählen; mit kleinem (inneren) Radius

oder mit großem (äußeren) Radius

In beiden Fällen wird die Einhaltung des Gleisabstandes und die gemeinsame geometrische Mittelpunktslage der Parallelkreise gewährleistet.

Am einfachsten ist es, wenn Du den Radius verwendest, der Deinem bevorzugten Anschlußbogen entspricht. Dann ist A = R = L oder L = R oder L = A²/R

Berechne L/8 indem Du die Länge der Klothoide in 8 Teile zerlegst. Du erhälst 8 Bogenstücke als L1 bis L8 .

Es muß bei der Eingabe der Radien nur noch beachtet werden, daß die Winkelstellen von Tau an den Zwischenpunkten L1 - L8 beibehalten und der Radius um den Gleisabstand vergrößert oder vermindert wird.

Das Ergebnis ist ein 8-teiliger Korbbogen, der dem ursprünglichen aus Kotoidenparametern abgeleiteten Übergangsbogen nahe kommt

Zahlenbeispiel folgt. Viele Grüße von

Henry

[Henry]

Hallo

Für unsere Berechnungen  benötigen wir anfangs nur den Radius, der am Ende des Übergangsbogens in den Kreisbogen überleiten soll. Die genauen X/Y-Koordinaten (können bei Bedarf berechnet werden) benötigen wir hierzu nicht. Ein gängiger Kreisbogen ist R= 360 mm in den Gleissystemen. Laßt uns mal ein Zahlenbeispiel nachvollziehen.

Prinzipskizzen und weitere Informationen findet ihr hier

wir wählen also gemäß

Zitat

R = 1 ; L = 1 dann ist A² = 1 * 1 = 1 und A = 1

bei R = 360 ist L = 360 und A = 360 !

Diese Klothoide (A=R=L) wird nun im Folgenden verwendet. Dabei wird die bekannte Länge (360) in 8 (mögliche Spline-) Anteile zerlegt. Je nach Länge wird der überstrichene Winkel (Tau= 28,6479°) und der an dieser Länge aktuelle Radius berechnet. Der letzte Winkel wird auf 30° berechnet.

Für die Berechnung gibt es eine Tabellenkalkulation, die folgendes Ergebnis (für R1 und R2 und R3 ) hat:

Betrachten wir zuerst den Endradius = 360,00
für jeden Bogenpunkt L = 1 bis 8 wird nun ein Stützpunkt  berechnet, der bei der Länge L1 bis L8 einen Öffnungswinkel von Tau° und einen ganz bestimmten Radius dR hat. Betrachten wir nun die einzelnen Radien für R2 und R3, stellen wir nocheinmal fest, daß - (wenn die Parameter in der Form A²=R*L gehalten sind), die Öffnungsswinkel Tau° für alle Übergangsbogen immer konstant bleiben. Nur die Radien sind verschieden.

Das bedeutet, daß wir mit den Winkeln Tau° die Winkelunterschiede delta tau° zwischen aufeinanderfolgenden Klothoidenpunkten berechnen und als Konstante sowohl für R1 als auch für R2  und R3 oder andere Klothoiden in unseren Gleiseditor festschreiben können. Wir müssen nur noch den Radius an den Kurvenpunkten berechnen. R = A²/L

• Für den Bogenpunkt dl  = 1 = 45 wird ein Radius von 2880 berechnet und mit mit delta tau° = 0,45° im Gleiseditor eingegeben
• Für den Bogenpunkt dl  = 2 = 90 wird ein Radius von 1440 berechnet und mit mit delta tau° = 1,34° im Gleiseditor eingegeben
• Für den Bogenpunkt dl  = 3 = 135 wird ein Radius von 960 berechnet und mit mit delta tau° = 2,24° im Gleiseditor eingegeben
• ....
• Für den Bogenpunkt dl  = 8 = 360 wird ein Radius von 360 ergänzt mit delta tau° = 8,07° im Gleiseditor eingegeben um auf einen glatten Öffnungswinkel von Phi = 30° zu kommen.

Haben wir diese Hürde genommen, können wir demnächst genaue parallele Kurven definieren.

Bitte scheut Euch nicht, hier Eure Fragen und Diskussionsbeiträge zu posten.

zum Nachvollziehen ein Beispiel 3d_Test-2.mbp

Viele Grüße, von

Henry

Bearbeitet 21. Februar 2019 von Henry
Text

[Henry]

Parallele Korbbögen im Gleisabstand zum Übergangsbogen

Zitat

Klöthoiden sind ähnlich. Es gibt aber keine KLothoide, die zu sich parallel ist

.Das ist nicht weiter schlimm, weil wir unseren Übergangsbogen schon mit wechselnden Kreisbögen vereinfacht hatten. Wenn wir einen parallelen Bogen im vorgegebenen Gleisabstand erzeugen wollen, kopieren wir im MBS unseren Übergangsbogen. Die Winkeldifferenz delta tau° lassen wir unverändert. Den angebotenen Radius vergrößern oder verkleinern wir mit dem Gleisabstand an den Stellen L1 bis L8.

Beispiel:

In den grünen Feldern sind die Radien der Ausgangsklothoide hinterlegt, in den gelben Feldern sind die neuen End-Radien mit dem Gleisabsand dR enthalten. Die Winkel sind unverändert.

Das Ergebnis für R2 bis R5 sieht so aus:

Nun sollte es für Euch möglich sein, eigene Übergangsbögen zu erfinden. Keine Angst - die Tabellenkalkulation folgt.

Ich zeige den Unterschied zur MBS-Planung durch Anpassung mit flexiblem Biegen oder Flexgleis ----

nun ja, passt auch irgendwie ....

und als graphische Überlagerung

gefällt mir die Näherungslösung besser ---

meint mit vielen Grüßen

Henry

Bearbeitet 21. Februar 2019 von Henry

[Henry]

Gleisverbindungen in Kreisbögen durch Bogenweichen

Wie wir gesehen haben, lassen sich durchaus bei der Verwendung von 30° Übergangsbögen unter Berücksichtigung des Gleisabstandes im sich ergebenden Zwischenbereich von 180° (Halbkreis) und dem vom Übergangsbogen belegten Winkel von 2*30° - Gleisverbindungen mit Bogenweichen realisieren - einfach gesagt steht ein Restwinkel von W =180°-2*30° = 120° zur Verfügung - kann man die vom Hersteller vorgestellten Gleisfiguren nachbilden.

Weil wir aber unsere Übergangsbögen durch Korbbögen vereinfacht hatten, bleiben manchmal kleine Restklaffungen nach, die geschlossen werden sollen.
Mit Märklin Bogenweichen 24171 / 24172 sieht das so aus:

an den roten Strichen passt es nicht genau

Hierzu verwenden wir die Funktion Flexibles Biegen im Eigenschaftsfenster. Damit aber unsere mühsam erstellten Korbbögen erhalten bleiben, schieben wir die anschließenden Gleise an die Übergangsbögen passend heran. Dadurch entsteht an anderer Stelle eine erneute Klaffung, die bei kurzen Gleisen so lange verschoben wird, bis sich ein Gleis findet, das sich unmerklich in die Gleisführung einschmiegt.

In diesem Fall werden die Gleise 24194 und 24171 flexibel angepasst.

Im Beispiel sind auch die Bogenweichen 24771 und 24772 enthalten -

Beispieldatei unter ID 4E2CE31E-5DC8-4293-B053-994342A6DEE4

viele Grüße von

Henry

 

Bearbeitet 26. Februar 2019 von Henry

[Henry]

Danke für die Klicks - freut sich

Henry

[schlagerfuzzi1]

hallo @Henry,

auch bei dir möchte ich mich mal bedanken für deine klasse gemachten gleisverbindungen in den kreisbögen … ich finde diese Anerkennung top angebracht bediene dich an den vielen  , die ich dir hier übersende… und du machst das auch mit den gleisen, die du beschriftest hier mit einstellst einfach superklasse und man kann wirklich leicht solche anlagen mal selber zusammenbauen nach deinen vorlagen … ich finde das erste sahne, dass du dich auch dafür so einsetzt … mach weiter so … gruß schlagerfuzzi …. PS: … vielen dank für deine vielen vorlagen, die du hier immer zur verfügung stellst