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Goetz

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  1. Goetz

    Lua Tutorial

    Welcher Typ bist du? Es gibt ein paar Typen, die lernt jeder Programmierer ziemlich früh kennen. Über die müssen wir jetzt mal reden. true und false sind zum Beispiel solch ein Typ. Diesen Typ nenn man boolean, nach dem Mathematiker George Boole. Daten des Typs boolean können nur zwei verschiedene Werte haben. Entweder true oder false. Man benutzt diesen Typ überall dort, wo man zwischen zwei Zuständen unterscheiden möchte: an oder aus, frei oder besetzt, auf oder zu, ja oder nein … Alles, was im Programmcode eine Entscheidung trifft, erwartet den Typ boolean als Argument. Das while aus dem letzten Kapitel ist ein Beispiel dafür. Entweder wird die while Schleife wiederholt oder nicht. Je nachdem, ob das Argument wahr oder falsch, also true oder false ist. Zahlen werden in zwei Typen unterschieden. die ganzen Zahlen. Die nennt man in der Programmierung integer die Fließkommazahlen. Die nennt man in der Programmierung float Der Grund für die Unterscheidung liegt in der unterschiedlichen Genauigkeit bei Berechnungen. Das erkläre ich hier aber nicht im Detail, weil Lua diese Unterscheidung gar nicht macht. Lua kennt nur einen Typ für alle Zahlen und nennt diesen Typ number. Die größtmögliche ganze Zahl in Lua ist 9223372036854775807. Wenn man in einem Video bei 0 anfängt und dann bei 60 fps in jedem Bild 1 weiter zählt, dann erreicht man diese Zahl nach 4.8 Milliarden Jahren! Rechnet es nach! grosse_Zahl = 9223372036854775807 Bilder_pro_Jahr = 365 * 24 * 60 * 60 * 60 print("In einem Jahr kommen", Bilder_pro_Jahr, "Bilder zusammen") print("Deshalb benötigt man", grosse_Zahl / Bilder_pro_Jahr, "Jahre, bis man die größtmögliche Zahl in Lua erreicht hat.") Texte sind ein weiterer Typ. Dieser Typ nennt sich string. Das ist das englische Wort für eine lange Aneinanderreihung von Dingen. „A string of pearls“ ist beispielsweise eine Perlenkette (und ein bekanntes Musikstück von Glen Miller.) Texte betrachtet der Programmierer also als eine Kette von Buchstaben, Zahlen und Satzzeichen. Strings werden in einfache oder doppelte Anführungszeichen gesetzt. Beide haben genau dieselbe Funktion. 'Ich bin ein String' "Ich bin auch ein String" Strings müssen mit denselben Anführungszeichen anfangen und aufhören. Das jeweils andere Anführungszeichen kann dann im String als Teil des Textes verwendet werden. 'Ich bin ein unvollständiger String" 'Ich bin ein "besonderer" String' Man darf nur die simplen Anführungszeichen verwendet, nicht die schönen für den gepflegten Schriftsatz. Das ist unproblematisch, wenn man Code direkt in einem dafür vorgesehenen Editor schreibt. Der setzt automatisch die erlaubten Anführungszeichen. Aber wenn man eine Textverarbeitung benutzt, dann kann man sich falsche Anführungszeichen einhandeln. Zum Beispiel die bei deutschen Texten gebräuchlichen Anführungszeichen unten. Die versteht der Lua-Interpreter nicht! „Ich führe zu einer Fehlermeldung!“ Aber auch die oben stehenden Anführungszeichen sind in Textverarbeitungen oft die falschen. Nämlich die schnörkeligen, leicht schräg gestellten. Die sehen den simplen Anführungszeichen zwar sehr ähnlich. Aber sie haben einen ganz anderen Buchstabencode. Deshalb funktionieren die nicht im Programmcode. Mit der Funktion type(), die in Lua enthalten ist, kann man den Typ eines Elements prüfen. Diese Funktion gibt einen String zurück, der den Typ des angegebenen Elements als Wort enthält. Mit print() kann ich diesen Typ daher auch ausgeben: print(type(a)) Ergibt als Antwort nil Das ist der englische Ausdruck für: nix Wenn man der Variablen a keinen Wert zugewiesen hat, dann hat sie einen Inhalt vom Typ nil. Das ist ein ungewöhnliches Konzept, welches man so in anderen Programmiersprachen nicht findet. In anderen Sprachen hätte es eine Fehlermeldung gegeben die lautet, dass die Variable noch gar nicht definiert ist. In Lua ist alles, was nicht anderweitig definiert wurde, automatisch nil a = true print(type(a)) ergibt die Antwort boolean a = 1 print(type(a)) ergibt die Antwort number und a = '1' print(type(a)) ergibt die Antwort string Es gibt noch mehr Typen. Aber auf die möchte ich später eingehen. Mir ist für den Anfang etwas anderes wichtiger: Es gibt verschiedene Typen, weil man damit im Programm verschiedene Dinge anstellt. numbers kann man addieren. strings kann man aneinanderfügen. Und booleans kann man logisch verknüpfen. Das lässt sich nicht beliebig mischen. Der Ausdruck "Hallo" + 123 ist unsinnig und führt entsprechend in Lua zu einer Fehlermeldung. Das + Zeichen ist nur für die mathematische Addition. Es wird nicht dafür benutzt, Textteile zusammenzusetzen. Um Textteile zusammenzusetzen, benutzt man kein +, sondern zwei Punkte: print("zusammen" .. "schreiben") ergibt zusammenschreiben Weil man Typen unterschiedlich behandeln muss, war es notwendig, dass ich euch an dieser Stelle ein paar von diesen Typen vorstelle. Und die sehen nur am Anfang furchterregend aus. Eigentlich sind die alle sehr nett. Wirklich. Die tun euch nichts. Vorausgesetzt, ihr behandelt sie richtig
  2. Goetz

    Lua Tutorial

    Schleifen (Teil 2) Es gibt eine zweite Art, Code in einer Schleife wiederholt auszuführen: Die while ... do Schleife. Hinter while erwartet Lua dabei ein true oder false. Dieses true oder false kann das Ergebnis eines Ausdrucks sein. Meistens handelt es sich dabei um das Ergebnis eines Vergleichs. a = 0 while a < 5 do print(a) a = a + 1 end print("fertig!") In der ersten Zeile wird für den Platzhalter a ein Wert festgelegt. Diese Platzhalter nennt man übrigens Variable und es wird Zeit, dass ich den richtigen Begriff verwende. Sie heißen deshalb Variable, weil ihr Wert veränderbar ist. Er kann variiert werden. Also: Die erste Zeile setzt die Variable a auf den Wert 0 Das while am Anfang der zweiten Zeile heißt übersetzt so etwas wie "solange". Dahinter steht ein Ausdruck, der entweder wahr oder falsch sein kann. Solange a < 5 wahr ist, also der Ausdruck das Ergebnis true hat, werden die nachfolgenden Zeilen bis zum end immer wieder ausgeführt. Hinter den Ausdruck, der geprüft werden soll, gehört noch das Schlüsselwort do, zu deutsch: tu es. Damit erkennt Lua, dass hier der gesamte Ausdruck, welcher geprüft werden soll, zu Ende ist. (Andere Programmiersprachen nutzen für diesen Zweck Klammern.) Die dritte und vierte Zeile werden also nur ausgeführt, wenn a kleiner als 5 war. In der dritten Zeile wird der Wert von a ausgegeben. Und in der vierten Zeile wird zum Wert von a eine 1 hinzu addiert. Das Ergebnis wird als neuer Wert wieder in a gespeichert. Wenn a vorher den Wert 0 hatte, dann steht jetzt in a eine 1. Diesen Trick findet man in allen Programmiersprachen. Man kann eine Variable auslesen. etwas addieren (oder die Zahl auf andere Weise ändern) und das Ergebnis wieder in der selben Variable speichern. Das ist so praktisch, dass es in anderen Programmiersprachen sogar besondere Schreibweisen dafür gibt. Aber leider nicht in Lua. Da muss man wirklich a = a + 1 schreiben, wenn man den Wert von a um 1 erhöhen will. Das end in der fünften Zeile heißt, dass der while-Block zu Ende ist. Damit kehrt das Programm zurück zur zweiten Zeile und prüft erneut, ob a kleiner als 5 ist. Da a jetzt den Wert 1 hat, ist es noch immer kleiner als 5. Also wird erneut in der dritten Zeile der Wert von a ausgegeben. Und in der vierten Zeile wird zum Wert von a wieder 1 hinzu addiert. Das wäre also 1 + 1. Dieser neue Wert 2 wird in a gespeichert. Dann wird wieder geprüft, ob a kleiner als 5 ist. Das passiert solange, bis a diese Bedingung nicht mehr erfüllt. Dann springt Lua ans Ende des while-Blocks und macht mit der sechsten Zeile weiter. In der steht, dass Lua den Text fertig! ausgeben soll. Versucht mal vor dem Ausprobieren dieser Zeilen möglichst genau einzuschätzen, was im Ausgabefenster stehen wird. Und wenn das tatsächliche Ergebnis nicht 100%ig mit eurer Vermutung übereinstimmt, dann zuckt nicht einfach mit den Achseln und denkt: 'Na, immerhin. War doch fast richtig.' Sondern schaut ganz genau hin, was anders ist. Und macht euch Gedanken darüber, warum es anders ist. Das ist die Methode, mit der man Programmieren lernt. Alles, was man ins Skript schreibt, hat ganz eindeutige und sehr logische Konsequenzen. Ohne Ausnahme! Deshalb ist jede Abweichung im Verhalten ein guter Hinweis auf das, was man zur Zeit noch falsch versteht. Und je genauer man diese Abweichung studiert, desto besser erkennt man, wo der eigene Denkfehler sitzt. Ihr könnt auch ausprobieren, was sich ändert wenn man die dritte und vierte Zeile vertauscht. Macht das einen Unterschied? Wenn ja, welchen? Und warum? Viel Spaß beim Probieren und Studieren :-)
  3. Ich verstehe, dass das für euch viel Geld ist. Aber es ist gerechtfertigt. Das müssen Könner machen und die bekommen zurecht gutes Geld für ihr Fachwissen und ihre Leistung. Wenn du das selber machst, dann wird die Sache nur noch teurer. Denn das, was du programmierst, wird die Prüfung nicht bestehen. Und dann hast du zu den Kosten für die Änderung obendrein die Kosten für die Prüfung deines Versuchs. Glaub mir, Wüstenfuchs: Das ist nur was für Profis.
  4. Ganz bestimmt nicht. Lua ist eine weit verbreitete Skriptsprache, die in vielen Bereichen eingesetzt wird. Da ist es nicht verwunderlich, dass man sich auch an solcher stelle findet. Aber ich möchte dir ganz dringend davon abraten, selbst in diese Steuerungssoftware einzugreifen! Das wäre verantwortungslos, weil du überhaupt nicht abschätzen kannst, welche fatalen Folgen ein Fehler haben könnte. Bitte, überlass das ausschließlich den Profis! Die bekommen aus gutem Grund Geld für ihre Arbeit.
  5. @Wüstenfuchs Statt dich in Geduld zu üben, lies doch bitte noch ein- (oder zwei-)mal das, was ich bisher geschrieben habe. Du hast da manches viel zu flüchtig gelesen und nicht richtig durchschaut. Und probiere ruhig fleißig weiter. Denn nur so erkennst du - wie eben gerade - wo noch Missverständnisse sitzen.
  6. Die darfst du nicht einfach so dazwischen schreiben. Wie soll Lua denn wissen, was das sein soll? Für solche Zwecke gibt es in Lua die Möglichkeit, eine Zeile als Kommentar zu kennzeichnen. Das habe ich aber noch nicht erklärt. Nein, das wird auch dann nicht funktionieren. Ich habe das, was du für dein Vorhaben benötigst, in meinem Tutorial noch nicht erklärt. Außerdem musst du bei den Schreibweisen besser aufpassen. Du schreibst zum Beispiel print mit einem großen P am Anfang. Lua kennt aber keine Funktion Print(). Es kennt nur eine Funktion print()
  7. Wo hast du die Idee her, dass du in deinem Skript einfach das Wort Funktion schreiben könntest? Noch dazu groß geschrieben und in der deutschen Schreibweise mit einem k? Weil dieses Wort in der zweiten Zeile unsinnig ist, stellt der Lua Interpreter in der Zeile 3 fest das etwas nicht stimmen kann. Deshalb meldet er, dass in der Nähe des a in Zeile 3 ein Syntaxfehler vorliegen muss.
  8. Goetz

    Lua Tutorial

    Die Wahrheit, die ganze Wahrheit und nichts als die Wahrheit Programmierer stellen sich immer wieder dieselbe Frage: "Kann das wahr sein?" Und Computer kennen darauf nur eine klare Antwort: Etwas ist entweder wahr oder falsch. Im Englischen heißt es true bzw. false und das sind die Schlüsselworte, welche dafür in Lua verwendet werden. Jeder Vergleich, den man in Lua schreibt, hat true oder false als Ergebnis. Probiert es aus! Schreibt in Lua Demo print(2 > 1 ) Das bedeutet 2 ist größer als 1. Drückt auf "run" und im unteren Fenster wird true stehen .Und wenn ihr es mit print(2 < 1) versucht, was für 2 ist kleiner als 1 steht, dann ist das Resultat false. Folgende Vergleiche gibt es in Lua: a > b -- a ist größer als b, kurz: a größer b a >= b -- a ist größer als b oder gleich b, kurz a größer gleich b a < b -- a kleiner b a <= b -- a kleiner gleich b a == b -- a gleich b a ~= b -- a ist nicht gleich b, kurz: a ungleich b Beim letzten Vergleich steht eine Welle, Tilde genannt, vor dem = Zeichen. Diese Welle bekommt man mit AltGr und der + Taste (im großen Tastaturteil. Nicht das Plus im Zahlenblock.) Beim vorletzten Vergleich achtet bitte auf das doppelte Gleich-Zeichen. Man muss bei der Programmierung nämlich zwei Dinge klar unterscheiden: Manchmal möchte man prüfen, ob etwas gleich ist. Dann benutzt man in Lua das doppelte = Zeichen. Und manchmal möchte man etwas gleichsetzen. Dann muss man in Lua das einfache = Zeichen verwenden. a == 5 -- prüft, ob a den Wert 5 hat a = 5 -- setzt a auf den Wert 5 Auf beiden Seiten des Vergleichs können auch Rechenoperationen stehen. Ich kann also prüfen, ob a == 2 + 3 oder ob 2 * a <= b + c ist. Meist geht es aber um ganz banale Fragen wie die, ob ein Zähler schon einen bestimmten Wert erreicht hat.
  9. Da scheint ein unsichtbares Zeichen in Zeile 3 zu stecken. Eins, welches der Interpreter nicht versteht. Kopiere diese Codebeispiele nicht aus meinen Postings! Erstens können durch die Textformatierung dabei Zeichen mit kopiert werden, die der Interpreter nicht schluckt. Und zweitens lernst du nichts dabei. Wirklich überhaupt nichts. Wenn du wirklich lernen willst, wie man Lua Code schreibt, dann Lies meine Erklärungen aufmerksam durch Bemüh dich, alles im Detail zu verstehen Geh auf die Lua Demo Seite und schreibe dort aus dem Kopf das Skript rein, was du ausprobieren möchtest. Dazu musst du dir mein Skript nicht merken. Wenn du verstanden hast, wie man es machen muss, dann kannst du das Skript für den Zweck auf der Demo Seite selbst entwerfen. Dieser eigene Entwurf ist der Weg, über den du es lernen musst. Der zeigt dir, wo du noch Verständnislücken und Unsicherheiten hast. Wenn du nur kopierst und einfügst, dann merkst du das nicht. Dann bildest du dir nur ein, du könntest es schon.
  10. Das höre ich sehr gerne, denn genau das ist mein Ziel. Deshalb lasse ich auch für den Anfang so viele, eigentlich wichtige Informationen weg. Es erleichtert meines Erachtens den Zugang. Und wer schon Erfahrung hat, der wird in den Beispielen vieles selbst erkennen. Zum Beispiel, dass man in Lua Variablen verwenden kann, ohne sie je deklariert zu haben. Und dass es egal ist, welcher Datentyp darin gespeichert wird. Das weiß ich zu schätzen, Andy. Danke :-)
  11. @h.w.stein-info Du musst nichts installieren. In V5 wird alles enthalten sein. Und bis dahin kannst du auf der Lua Demo Seite direkt alles ausprobieren. Einfach anklicken und dort ins Fenster deine kleinen Lua Programme eintippen. Dann unter dem Fenster auf den Knopf "run" klicken und das Ergebnis anschauen.
  12. Ich freue mich, dass mein Tutorial gut ankommt. Aber für manche wird das zu schwafelig sein. Wer Englisch gut versteht und nur mal schnell wissen wird, wie Lua funktioniert, der ist mit diesem einstündigen Video von Derek Banas gut bedient. Ich mag seine Videos sehr. Sie sind gut strukturiert und gut zu verstehen:
  13. Goetz

    Lua Tutorial

    Schleifen (Teil 1) Die Tochter hat gerade Multiplikationsreihen in der Schule. Ich soll ihr beim Lernen helfen. Aber das ist für mich schon sooo lange her. Außerdem konnte ich mir die Siebener-Reihe nie wirklich merken. Und so schwere Sachen wie die Elfer-Reihe hatten wir früher gar nicht in der Schule. Zum Glück habe ich einen Computer, der mir alles ausrechnen kann. Damit müsste ich doch eine Art Spickzettel hinkriegen? Multiplikation kann ich ja schon: print(1 * 1) Aber das reicht nicht. Der Lehrer will das immer in ganzen Sätzen hören und nicht nur das Ergebnis. Also muss print() einen Text ausgeben. 1 mal 1 ist 1 2 mal 1 ist 2 und so weiter. Deshalb muss ich zuerst lernen, wie ich print() dazu bringe, ein Wort als Wort zu erkennen. Im letzten Kapitel hatte print() ja zum Beispiel Quadrat(12) als Funktionsaufruf erkannt. Was macht man nun, wenn print() zum Beispiel das Ergebnis von Quadrat(12) ist 144 schreiben soll? Man setzt das, was als Text ausgegeben werden soll, in Anführungszeichen print( "das Ergebnis von Quadrat(12) ist", Quadrat(12) ) Beachtet bitte, dass zwischen dem Text und dem Funktionsaufruf ein Komma steht. Dieses Komma trennt zwei Argumente voneinander. Diesmal bekommt print() mehrere Bausteine und setzt sie selbständig zu einer Textzeile zusammen. Dabei wird anstelle des Kommas ein Tabulatorsprung gesetzt. Deshalb steht die 144 bei der Ausgabe etwas weiter weg. Versucht es mit einer einfachen Multiplikation: print(1, "mal", 1, "ist", 1*1) Hurra, das funktioniert! Mit mehreren Kommas und einem Gemisch aus Zahlen und Texten. Das eröffnet ganz neue Möglichkeiten. Die Abstände sind bei der Ausgabe sehr groß, aber das soll egal sein. Es geht jetzt nicht um Schönheit. Und man darf die Kommas nicht einfach weglassen, weil unterschiedliche Bausteine (Zahlen, Texte und Berechnungen) zu einem Text zusammengesetzt werden sollen. Man muss die Bausteine also voneinander trennen. Das muss jetzt in eine Funktion, die ihr diesmal mit zwei Argumenten aufrufen könnt. Nämlich mit den beiden Zahlen, die multipliziert werden sollen. Also benötigt ihr in der Funktionsdefinition diesmal zwei Platzhalter. Und die werden ebenfalls mit einem Komma voneinander getrennt function Multiplikation(Zahl1, Zahl2) print(Zahl1, "mal", Zahl2, "ist", Zahl1 * Zahl2) end Sehr gut. Jetzt könnt ihr die Funktion mit jedem Zahlenpaar aufrufen Multiplikation(6, 7) Auch hier ist das Komma wieder der Trenner zwischen den beiden Werten. (Dezimalzahlen werden in allen Programmiersprachen mit einem Dezimalpunkt geschrieben!) Jetzt muss ein Weg her, um die Funktion zehnmal hintereinander aufzurufen und dabei als ersten Parameter die Zahlen 1 bis 10 zu übergeben. Damit eine komplette Siebener-Reihe ausgegeben wird. Eine Methode ist die for ... do Schleife. Sie ist ähnlich wie eine Funktion aufgebaut. Aber die Schlüsselwörter sind for, do und - wie bei der Funktion - end for Zahl = 1, 10, 1 do print(Zahl) end gibt nacheinander die Zahlen 1 bis 10 aus. Diese Schleife beginnt damit, dass sie die erste der drei Zahlen an den Platzhalter übergibt, den ich Zahl genannt habe. Damit wird dann - wie bei einer Funktion - alles bis zum end durchgeführt. Aber anders als eine Funktion startet die Schleife im Anschluss gleich noch einmal. Dabei wird die dritte Zahl zu dem, was im Platzhalter steht, hinzu addiert. Dann läuft der ganze Block erneut durch. Und das immer wieder, bis der Platzhalter den zweiten Wert erreicht hat. for Zahl = 1, 10, 1 do heißt also: Mach alles folgende mit allen Zahlen von 1 bis 10 bei einem Zählabstand von 1. for x = 2, 20, 2 do ginge also auch, wenn man nur gerade Zahlen verwenden will. Und ebenso funktioniert for a = 1, 2, 0.1 do wenn man kleinere Abstände braucht. Den gebräuchlichsten Abstand 1 muss man nicht zwingend angeben. Daher kann man den ganzen Code für die Siebener-Reihe so schreiben: function Multiplikation(n1, n2) print(n1, "mal", n2, "ist", n1 * n2) end for i = 1, 10 do Multiplikation(i, 7) end Beachtet bitte, dass die for … do Schleife im Aufbau zwar wie eine Funktionsdefinition aussieht, aber im Gegensatz zur Funktionsdefinition sofort ausgeführt wird! Ich habe in diesem letzten Beispiel gebräuchlichere Namen für die Platzhalter verwendet. Den Buchstaben n für eine ganzzahlige Zahl. Das n steht für "number", zu Deutsch: Nummer. Und den Buchstaben i für den Wert, der in der Schleife raufgezählt wird. Das i steht in dem Fall für "increment", zu Deutsch: raufzählen. Diese Namen werdet ihr oft in fertigen Skripten sehen, deshalb wollte ich euch damit vertraut machen. Aber sie haben keine Funktion, wie ihr an meinen ersten Beispielen sehen konntet. Sie werden einfach nur häufig verwendet. Für den Anfang ist es besser, aussagekräftige Namen zu verwenden. Dann wisst ihr morgen noch, was ihr da heute hingeschrieben habt und warum.
  14. Nein, heutzutage nicht mehr. Aber ursprünglich stammt der Funktionsname wirklich daher, dass man Ergebnisse auf langen Papierstreifen ausgedruckt hatte. Das war lange, bevor Lua erfunden wurde. Der Name hat sich so eingebürgert, dass er noch heute in allen Programmiersprachen für die Ausgabe verwendet wird, obwohl die inzwischen auf dem Bildschirm landet und nicht mehr auf Papier.
  15. Goetz

    Lua Tutorial

    Funktionen (Teil 3) Für Testzwecke ist es nützlich, wenn man das Ergebnis einer Funktion ausgeben kann. Aber das will man nur in Ausnahmefällen. Meistens will man mit den berechneten Zahlen etwas anderes tun. Man möchte sie weiterverwenden. Vielleicht benötige ich in meinem Programm an mehreren Stellen das Quadrat einer Zahl? Dann würde ich am liebsten überall dort, wo ich das benötige, einfach Quadrat(x) hinschreiben, wobei anstelle des x immer die Zahl steht, von der ich gerade das Quadrat benötige. Und dann soll Lua bitte dort, wo ich das so schreibe, einfach das Quadrat dieser Zahl einsetzen. Also: Irgendwo in meinem Code soll so etwas wie Geschwindigkeit = Quadrat(12) stehen und Lua soll daraus bitte Geschwindigkeit = 144 machen. Lua kann das. Man kann in der Funktionsdefinition sagen, dass Lua etwas zurückgeben soll und dann wird dieser zurückgegebene Wert dort eingesetzt, wo der Funktionsaufruf steht. Für diesen Zweck gibt es das Schlüsselwort return. function Quadrat(Zahl) Ergebnis = Zahl * Zahl return Ergebnis end Geschwindigkeit = Quadrat(12) print(Geschwindigkeit) Und so geht es auch: function Quadrat(Zahl) return Zahl * Zahl end print( Quadrat(12) ) Im Skripttext wird der Funktionsaufruf natürlich nicht durch das Ergebnis ersetzt. Das wäre nicht hilfreich. Aber bei der Ausführung des Skripts kann das Ergebnis einer Funktion direkt dort weiterverarbeitet werden, wo die Funktion aufgerufen wurde. Und damit erspart man sich eine Menge Platzhalter um Werte von hier nach dort zu bekommen. Das war nun in drei Teilen eine Menge Theorie zu den Funktionen. Der eine oder andere wird das erst einmal verdauen müssen. Lasst euch aber bitte nicht entmutigen, wenn ihr nicht sofort alle Zusammenhänge durchschaut. Das wird im Folgenden alles immer klarer werden, weil ihr es jetzt in vielen Übungen, die ich euch geben werde, immer wieder anwenden könnt.
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